LA COSTANTE GRAVITAZIONALE
NEI SUOI INTERNI RAPPORTI MATEMATICI
CON PI GRECO, NUMERO D’ORO E NUMERO DI EULERO
1.
Scopo di questo lavoro è dimostrare che il valore della costante gravitazionale G, sia a livello di numero caratteristico, sia includendo la potenza del 10, non è frutto del caso, ma di funzioni di π, di ɸ, del numero di Eulero – oltre che dell’onnipresente 10, che nelle costanti scientifiche troviamo quasi sempre come seconda parte della loro struttura. Esse infatti, su un piano puramente matematico, assumono quasi sempre la forma x ∙ 10y, che, nel caso particolare della costante gravitazionale diventa 6,672 ∙ 10-11. Naturalmente, al di là della pura forma matematica, le costanti vengono espresse attraverso particolari unità di misura, che, nel caso della costante gravitazionale, sono i newton ∙ m2/kg2. Però, noi possiamo trascurare le unità di misura di questa come di altre costanti, dato che la tesi che sottostà al nostro lavoro è assolutamente radicale. Noi infatti sosteniamo che il sistema metrico decimale attualmente in uso in Occidente non è un sistema di misura qualsiasi, ma l’unico in grado di rispecchiare quel meraviglioso sistema armonico con cui è stato generato l’universo. In questo sistema armonico, l’universo deve essere concepito come il prender forma di un qualcosa che possiamo definire un etere matematico, una materia di tipo assolutamente astratto, capace di assumere e perdere qualsiasi forma, senza che in nulla la sua essenza si alteri a causa di questi mutamenti di forma. E le forme che questo etere matematico è capace di prendere sono appunto quelle implicite nel sistema armonico delle costanti, di cui ci accingiamo ad esplorare una piccola regione.
Lo riconosciamo. Questa tesi, a partire dall’attuale comprensione della scienza attualmente in voga in Occidente, sembra completamente assurda, e tale continuerà a sembrare finché non ci addentreremo nei particolari dell’analisi. A quel punto ci sembrerà invece del tutto ovvia, e, anzi, ci domanderemo come mai la scienza e la matematica occidentali hanno impiegato tanto tempo per accorgersene.
Abbiamo cominciato ad occuparci di queste problematiche già a partire da The Snefru Code parte 3 e in molti lavori successivi. In particolare, in The Snefru Code parte 11, ci siamo occupati del problema filosofico posto dal concetto di etere matematico, che abbiamo definito in termini simili a quelli in cui nel Timeo Platone definì quello di “χώρα” (invisibile indeterminato). Ma in quelle sedi avevamo optato per una trattazione complessiva del problema, che per forza di cose è sfociata in lavori molto lunghi e molto complicati. Questo articolo invece fa parte di una serie di lavori piuttosto brevi, in cui ci siamo proposti di offrire al lettore i casi più interessanti che si possono individuare nella struttura armonica che sottostà ai valori delle costanti della scienza empirica.
2.
Il punto di partenza obbligato della nostra analisi è una strana situazione gnoseologica, di cui chiunque si occupi di fisica e astronomia è più o meno al corrente, ovvero, che il valore della costante gravitazionale G non è mai stato fissato in modo veramente rigoroso. È questo il motivo per cui, andando un po’ in giro per internet, si trova che in un gran numero di tabelle esso viene dato per 6,67 ∙ 10-11, mentre in altre il numero caratteristico della costante cambia, sia pur di poco. Infatti, in alcuni casi esso cresce a 6,671, in altri a 6,672 e in altri fino a 6,673.
Questa è una situazione che può anche parere molto strana, dato che di solito i fisici moderni tendono ad attribuire una fluttuazione di tipo, diciamo così, ontologico alle costanti che descrivono il mondo microscopico. Infatti, in quel contesto una tale fluttuazione appare come l’inevitabile conseguenza del principio di indeterminazione, che stabilisce che nessun parametro riguardante l’atomo e le particelle subatomiche possa essere fissato in modo assolutamente esatto. Però, la costante gravitazionale sembrava sfuggire a una tale limitazione, dato che essa riguarda non solo e non principalmente il mondo microscopico, dove il ruolo di protagonista lo hanno senz’altro le forze magnetiche e l’interazione debole e forte. La forza di gravità sembra interessare invece più che altro il mondo macroscopico, e dunque entità di dimensioni enormi, quali il sistema solare, le galassie, gli ammassi di galassie etc. Ma, a dispetto della radicale diversità del contesto, nemmeno la costante gravitazionale è sfuggita fino ad adesso a quell’irritante imprecisione che fa sì che ogni parametro fisico che riusciamo a fissare, acquisti un senso determinato solo a partire dal contesto sperimentale in cui viene utilizzato.
3.
Stando così le cose, almeno a livello di esperimento mentale, noi possiamo senz’altro ipotizzare che il valore della costante di Newton non debba essere considerato come un punto inesteso, ma invece come una variabile. Il minimo e il massimo fra cui questa variabile oscilla noi li consideriamo pari al valore minimo e massimo che abbiamo trovato su internet. Interpretata così, G risulta una variabile che, a livello puramente matematico, possiamo descrivere in questo modo
6,67 ∙ 10-11 ≤ G ≤ 6,673 ∙ 10-11
Il metodo che abbiamo adottato, lo riconosciamo, sembra molto rozzo approssimativo. Ma, in un ambito tanto astratto come quello di un esperimento mentale, possiamo senz’altro tenerlo per buono, non fosse altro che per gli straordinari risultati teorici che esso sembra prospettare.
Infatti, stabilito questo intorno numerico, quel che ci accingiamo a dimostrare è che al suo interno si trovano dei valori particolari del numero caratteristico di G che sembrano provare in modo difficilmente contestabile i suoi strettissimi rapporti matematici con ɸ, π, e il numero di Eulero. Un fatto tanto più stupefacente e significativo se, prima di entrare nel vivo della nostra analisi, ci ricordiamo che in un lavoro precedente abbiamo dimostrato come questi numeri possano essere, almeno in un certo senso, considerati come uno solo, dato che tutti sia ɸ sia il numero di Eulero risultano commensurabili con π a partire dal prodotto fattoriale di 1/2 e -1/2, che è riconducibile alla radice di π. Infatti
Ciò fa sì che, siccome possiamo ricavare -1/2 tanto da ɸ che dal numero di Eulero e, noi possiamo ricavare π sia dall’uno che dall’altro, come anche dal 10, nel modo che possiamo vedere qui sotto
4.
Premesso questo, la prima approssimazione del numero caratteristico di G che scegliamo entro il margine di fluttuazione che abbiamo stabilito è quella il cui prodotto fattoriale è esattamente pari a ɸ2 ∙ 103
Dunque, in maniera del tutto imprevedibile, scopriamo che una costante scientifica della massima importanza ha profondamente a che fare con il numero d’oro. E il significato scientifico e matematico di questa scoperta sembra al tempo stesso ampliato e confermato dal fatto che, prendendo un’altra approssimazione, che resta ugualmente entro i margini di variazione sperimentalmente accertati e accettati, ecco che scopriamo che il rapporto fra 11 – che è la potenza del 10 che caratterizza la costante – ed il suo numero caratteristico è esattamente uguale alla radice del numero di Eulero.
Infatti, se consideriamo un valore di G pari a 6,6718372568389.. ∙ 10-11 abbiamo che
Già a questo livello, pensare che il valore di G possa essere frutto del caso diventa davvero molto, ma molto difficile. Forse diventerà del tutto impossibile nel momento in cui diventiamo coscienti delle ancor più profonde e complesse relazioni matematiche che si possono dimostrare fra questa costante e π. Infatti, se prendiamo un valore che si situa poco oltre il margine inferiore che abbiamo stabilito per il nostro esperimento mentale (6,67), scopriamo che applicandogli la funzione xx, quello che viene fuori non è altro che π ∙ 105. Per di più, se scegliamo un valore di circa 74 miliardesimi più basso, e ne facciamo il doppio prodotto fattoriale, quello che otteniamo è ancora una volta il valore di π, moltiplicato però per 107791.
Per quanto strano possa sembrare, anche l’11 – cioè la potenza del 10 che caratterizza G – sembra avere delle connessioni con π, anche se, dobbiamo riconoscerlo, sembrano molto complesse e si possono ricavare solo per via trigonometrica. Comunque sia, se facciamo e-11 e applichiamo per 3 volte la funzione di inverso del seno – che simbolizziamo con “3inv. sen” e che, sulla calcolatrice scientifica di Windows corrisponde a pigiare per 3 volte consecutive prima il tasto “Inv” e poi quello “sen” – quella che otteniamo è una discreta approssimazione di π. Che, per di più, risulta davvero molto vicina a quella che fu codificata nella Grande Piramide, pari a πCheope = 22/7 = 3,142857..
inv. sen e-11 = 3,143015.. ≈ 22/7 = 3,142857..
E qui possiamo fare un breve inciso quanto al possibile significato scientifico della Piramide. Come è noto, 22/7 è la relazione che intercorre fra la metà del perimetro e l’altezza di questo edificio. A queste proporzioni si connette un angolo di base pari a 51°,842773412630940423232561163186. Ebbene, dal doppio di quest’angolo possiamo ottenere i valori dei numeri caratteristici del raggio classico del protone rp = 1,535 ∙ 10-18 m, della massa del neutrone mn = 1,6748 ∙ 10-27 kg, come anche la relazione fra la massa e il raggio classico del protone mp/rp = 1,6725/1,535 = 1,089576547.., della massa del protone mp = 1,6725 ∙ 10-27 kg, della carica elettrica elementare e = 1,6022 ∙ 10-19 coulomb, della lunghezza di Planck ℓP = 1,616252 ∙ 10-35 m, del raggio classico dell’elettrone re = 2,81777 ∙ 10-15, del rapporto inverso fra le masse e i raggi classici di protone ed elettrone mp/me = re/rp = 1,836 ∙ 103 e della costante di Dirac ħ = 1,054571628.. ∙ 10-34 joule ∙ sec. Il tutto, secondo le modalità piuttosto semplici ed eleganti che possiamo vedere qui di seguito
Se tutto questo non bastasse, possiamo trovare anche un valore praticamente perfetto del numero caratteristico della costante di Planck h = 6,626 ∙ 10-34 joule ∙ sec, come anche di quello della prima orbita dell’elettrone 1bohr = 0,531 ∙ 1010
Invece, dall’angolo di base “semplice”, possiamo ottenere il numero caratteristico del raggio della prima orbita dell’elettrone 1bohr = 0,531 ∙ 1010 e un valore ancor più accurato di mp/rp
Su un piano cosmologico, dall’angolo di base “semplice” possiamo ricavare anche la durata dell’anno solare (365,25 giorni), ma divisa per 102, e un valore pari 1 più l’anno delle eclissi (346,6 giorni) diviso per 103
Dall’angolo di base moltiplicato per 4, sia pure in un modo un po’ complicato, possiamo ottenere il numero caratteristico della costante di cui si occupa questo lavoro, come anche una discreta approssimazione del numero di Eulero che, come abbiamo visto sopra, è implicato nel rapporto fra la potenza e il numero caratteristico di G
Come possiamo vedere, già a partire dal suo angolo di base, la Piramide sembra in grado di confermare la verità di quella tradizione copta che la vede come il deposito di tutta la saggezza e di tutta la scienza accumulate prima del Diluvio. Si tratta di un tema tanto affascinante che è difficile resistere alla tentazione di approfondirlo ulteriormente. Ma l’argomento di questo articolo è la costante gravitazionale, e ad essa dobbiamo dunque affrettarci a ritornare.
5.
Il sistema di connessioni che abbiamo individuato fra G, π, ɸ, il 10 e il numero di Eulero sembra davvero stupefacente. Ma, strano a dirsi, le sue ramificazioni arrivano fino a dei livelli di cui si fa fatica a immaginare una qualsiasi spiegazione. Infatti, piuttosto incredibilmente, anche la potenza del 10 che caratterizza il doppio prodotto fattoriale di G che abbiamo calcolato nel paragrafo precedente – 7791 – ha delle connessioni con i numeri che, nella nostra ipotesi, stanno a fondamento del sistema delle costanti, vale a dire con π, ɸ e il numero di Eulero. Infatti, se andiamo a vedere quale sia la tangente dell’angolo di 7791° = 51° vediamo che essa si connette con buona approssimazione all’inverso dell’approssimazione di ɸ che fu codificata nella Grande Piramide (più oltre mostreremo il suo valore esatto, che deriva in modo immediato dalla proporzione di 11/7 con cui furono stabiliti la misura del lato e quella dell’altezza di questo straordinario monumento)
tg 7791° = tg 51° = 1,234897.. ≈ 2/ɸCheope = 1,235643..
Per di più, se dividiamo l’angolo di 7791° per quello di 51° elevato al quadrato, otteniamo la migliore approssimazione di c = 2,99792458 che è possibile ottenere con questa funzione trigonometrica, ove si utilizzino in essa dei numeri interi
7791° : 51°2 = 7791° : 2601° = 2,99538638.. ≈ c = 2,99792458
Quando poi facciamo la radice π8 di G!! = π ∙ 107791 c’è da rimanere davvero senza fiato. Infatti, quello che viene fuori è un valore sperimentalmente possibile del numero caratteristico della costante di Planck h = 6,626
π⁸√(π ∙ 107791) = 6,624436.. ≈ h = 6,626
In questo senso, non sembra meno significativo ed interessante il fatto che la radice 212 = 4096sima del numero di Eulero elevato alla 7791sima corrisponda ancora una volta in modo praticamente perfetto al limite inferiore del margine di fluttuazione di G che abbiamo scelto per il nostro esperimento mentale (6,67)
4096√e7791 = 6,699946956.. ≈ G = 6,67
Arriviamo a un risultato molto simile moltiplicando l’inverso di c = 2,9979245 per il numero di Eulero elevato al cubo
1/c ∙ e3 = 1/2,99792456 ∙ 20,085536923 = 6,699813950..
Per di più, se dividiamo 7791 per il numero di Eulero al quadrato, otteniamo un’approssimazione sperimentalmente possibile del numero caratteristico della costante di Dirac ħ = 1,054571628.., moltiplicato però per 103
7791 : e2 = 7791 : 2,718281828..2 = 7791 : 7,389056098.. = 1054,397191.. ≈ ħ ∙ 103 = 1054,571628..
Dividendolo invece 7791 per e12, otteniamo una discreta approssimazione di π/c – 1, da cui possiamo ricavare un’approssimazione di π che differisce dal numero esatto di poco più di un decimillesimo
[1 + (7791 : e12)] ∙ 2,99792458 = 3,141433905.. ≈ π = 3,141592653..
6.
Il rapporto di G con c = 2,99792458 che abbiamo appena delineato appare forse un po’ labile. Però, esso risulta rafforzato in modo sorprendente quando ci rendiamo conto che possiamo ottenere un’approssimazione del numero caratteristico di G a partire dalla radice c = 2,99792458 della velocità della luce espressa in milioni di metri al secondo (299792458)
6 + 2,99792458√299792458 : 103 = 6 + 672,299../103 = 6,672299.. ≈ G = 6,672
Quel 6 che compare nella formula qui sopra può parere un’intromissione del tutto arbitraria in quello che abbiamo definito come un sistema armonico di costanti scientifiche: dove lo possiamo trovare il 6 in questo sistema? Ebbene, noi possiamo giustificare la sua presenza quando ci rendiamo conto che esso può essere derivato da 10 elevato a un valore sperimentalmente possibile della costante di Planck (l’operazione implica una serie di 5 logaritmi naturali, che simbolizziamo con “5Ln“), vicinissimo a quello che oggi viene considerato come il più accurato
–5Ln 10h = –5Ln 106,626018304.. = 6
Ricordando le molteplici connessioni che abbiamo individuato nel corso dei nostri precedenti lavori fra i numeri caratteristici dei cicli cosmici che riguardano il nostro pianeta e i valori costanti della nostra scienza empirica, risulta anche abbastanza interessante il fatto che la radice 37 = 2187sima di G!! = π ∙ 107791 divisa per 10, corrisponda in modo abbastanza esatto con la durata dell’anno solare (365,25 giorni) con una differenza che corrisponde a circa 58 minuti
2187√ π ∙ 107791/10= 365,2931.. ≈ 365,25
7.
Oltre alle due connessioni di G con π che abbiamo individuato nei precedenti paragrafi, possiamo individuarne anche altre due, che però risultano da un metodo un po’ più complicato. La prima è quella che vediamo qui sotto
3inv. Ln -{1 + [(G√G)5 : 10]}2 = 3inv. Ln -{1 + [(6,67239505..√6,67239505..)5 : 10]} =
= 3inv. Ln -2,00123164.. = 3,141592653.. = π
La seconda deriva immediatamente da questa, dato che se facciamo il doppio prodotto fattoriale di un valore di G superiore a questo che abbiamo appena usato di solo pochi miliardesimi, otteniamo di nuovo π, moltiplicato però per 107830
G!! = 6,67239513296834821..!! = 3,141592653589.. ∙ 107830
La potenza del 10 che compare qui sopra, 7830, sul piano trigonometrico corrisponde a un angolo di 90°. Se facciamo il rapporto fra l’angolo di 7830° e quello di 90° ne otteniamo un terzo, che è quello che vediamo qui di seguito
7830° : 90° = 87°
Ebbene, la radice cubica della tangente di quest’angolo corrisponde ancora una volta a un valore sperimentalmente possibile del numero caratteristico di G meno 4 (oppure, a un valore sperimentalmente possibile del numero caratteristico della massa del protone mp = 1,6725 più 1)
3√tg 87° = 3√19,081136.. = 2,672194.. ≈ G – 4 = 2,672 ≈ 1 + mp = 1,6725
8.
Possiamo concludere la nostra analisi osservando che possiamo ricavare un’ottima approssimazione di un valore sperimentalmente possibile del numero caratteristico di G direttamente dal numero caratteristico della costante di Planck h = 6,626 nel modo piuttosto semplice che possiamo vedere qui sotto
Alterando leggermente il valore di h, in modo che possa ancora rientrare nei margini stabiliti dal principio di indeterminazione, possiamo arrivare a un’ottima approssimazione del valore del numero caratteristico della costante che descrive la velocità della luce c = 2,9979246 diviso per 10
Non sembra meno significativo il fatto che da prodotto fattoriale di -1/G deriva un’ottima approssimazione della costante di Dirac ħ = h/2π elevata al quadrato
Trattandosi di un lavoro monotematico, possiamo interrompere qui la trattazione del rapporto fra il valore di G e quello delle altre costanti della scienza empirica. Ma anche da quel poco che abbiamo visto, noi crediamo che un lettore non prevenuto possa concludere che l’ipotesi da cui siamo partiti, ovvero che le costanti della nostra scienza empirica formino un sistema armonico fondato su π, ɸ, il 10 e il numero di Eulero è ben lungi dall’essere il frutto di un delirio. Essa appare invece come una solida realtà, che, almeno usando gli strumenti della matematica, è molto più difficile confutare che sostenere.
APPENDICE:
Possibili connessioni fra il valore di G e la matematica di tradizione pitagorica che pare all’origine delle proporzioni della Grande Piramide.
1.
Una ulteriore connessione di G con dei numeri completamente astratti, connessi con quella matematica di tradizione pitagorica a cui paiono far riferimento le proporzioni della Grande Piramide, la possiamo ricavare indirettamente dal fatto che facendo il doppio prodotto fattoriale di √e quella che otteniamo è un’approssimazione di 1 + (22/7)/10 che differisce dal valore esatto di poco più di un decimillesimo. E, come è noto, 22/7 – uno dei cosiddetti “numeri di Pitagora” – è uno dei due valori che stanno alla base delle proporzioni della Grande Piramide, dato che 22/7 non è altro che la relazione fra la metà del suo perimetro e l’altezza
√e !! = 1,648721270.. !! = 1,314298733.. ≈ 1 + (22/7)/10 = 1,3142857.. (+1,301909242.. ∙ 10-5
Nei lavori che abbiamo pubblicato fino ad ora in questo sito ci siamo riferiti all’approssimazione di π che possiamo ottenere per mezzo di 22/7 come a πCheope. Ma, come noto, le proporzioni della Grande Piramide sono caratterizzate anche da un’approssimazione del valore di ɸ che risulta dal rapporto fra l’area delle quattro facce triangolari con l’area della base. Questo valore è pari a
ɸCheope = 1,6185903467968050540496871619522
Quest’approssimazione di ɸ l’abbiamo analizzata molto a lungo nei precedenti lavori, ed è risultata molto interessante. Qui ci permettiamo solo di ricordare che essa ha uno strettissimo legame trigonometrico con l’angolo la cui tangente viene fuori dal triplo logaritmo naturale (che qui sotto simbolizziamo con “3Ln“) di π
tg x = 3Ln π = -2,001231639062388123217603570362
x = -63°,449055416975582455592168329544
1/cos2 63°,449055.. = 1/0,446993368..2 = 5,004928073184332493165689771454
(1 + √1/cos2 63°,449055..) : 2 = (1 + √5,004928..) : 2 = 1,618584828.. ≈ ɸCheope = 1,618590346..
Comunque sia, se adesso torniamo al rapporto fra √e!! e 1 + (22/7)/10, scopriamo che il significato di questa relazione sembra al tempo stesso rafforzato e ampliato dal fatto che se facciamo per tre volte il logaritmo in base 10 (che simbolizziamo con “3log“) dell’inverso della differenza che abbiamo registrato poco sopra fra questi due valori (+1,301909242.. ∙ 10-5), scopriamo che il risultato corrisponde a un’approssimazione del valore di ɸCheope /10 di poco superiore ai 16 milionesimi. Questo fatto prova in un modo che sembra assolutamente inconfutabile non solo il legame di G con ɸ, π e il numero di Eulero, ma anche quello che ɸ, π e il numero di Eulero intrattengono fra di loro, e con le approssimazioni che furono codificate nella Grande Piramide
3log 1/1,301909242.. ∙ 10-5 = 3log 76810,269.. = -0,161842653.. ≈ -ɸCheope/10 = -0,1618590346..
L’ipotesi che abbiamo appena formulato sembra enormemente rafforzata dal fatto che, passando di nuovo per una vita trigonometrica, possiamo ottenere uno dei valori del numero caratteristico della costante gravitazionale, usando il valore esatto di ɸCheope
sen x = (1 + ɸCheope/10) : 10 = 0,11618590346..
x = 6°,672030.. ≈ G = 6,672
2.
Concludiamo osservando che il complesso legame reticolare che abbiamo scoperto fra π, ɸ e il numero di Eulero ci da l’occasione di approfondire un aspetto della relazione fra π e ɸ che si crea attraverso la sezione aurea del 3, che come ricordiamo, dava luogo a questo risultato
(3/ɸ)3/ɸ = 1,854101966249..1,854101966249.. = 3,141572320.. ≈ π = 3,141592653.. (-2,033329386713.. ∙ 10-5
Una cosa che non abbiamo precisato negli articoli passati. Infatti, anche in questo caso la differenza fra l’approssimazione che otteniamo e il numero esatto è significativa: il che ci fa sospettare che, in generale, le minuscole differenze che riscontriamo nelle funzioni che legano π, ɸ e il numero di Eulero siano a loro volta delle funzioni approssimate di questi valori. Un qualcosa che potremmo definire dunque come una sequenza di approssimazioni periodiche.
Infatti, se facciamo per due volte il logaritmo in base 10 dell’inverso della differenza fra π e (3/ɸ)3/ɸ il risultato è di nuovo un valore sperimentalmente ammesso di G – 6: in questo modo il legame matematico fra π, ɸ e la costante gravitazionale sembra ulteriormente rafforzato
2log 1/[π – (3/ɸ)3/ɸ] = 2log 1/(2,033329.. ∙ 10-5) = 2log 49180,423.. = 0,671338.. ≈ G – 6 = 0,672
Gabriele Venturi