UN BREVE SUNTO DEI MOMENTI DI MAGGIORE INTERESSE DEL LAVORO MATEMATICO FIN QUI SVOLTO
1. LA COMMENSURABILITÀ FRA PI GRECO E I NUMERI INTERI
Come tutti sappiamo, il problema della commensurabilità fra π e i numeri interi – la famigerata quadratura del cerchio – è stato più e più volte ufficialmente dichiarato e oramai ufficiosamente archiviato come assolutamente irrisolvibile. Di fatto, nessun matematico moderno crede che il rapporto fra il cerchio e la circonferenza possa connettersi con i numeri razionali, al punto che il detto “trovare la quadratura del cerchio” è diventato un modo per alludere al tentativo di trovare la soluzione a un problema impossibile. Chissà, forse un giorno si scriverà che questo è accaduto perché la soluzione era così semplice che a nessuno era venuto in mente di cercarla dove si trovava.
Il motivo di questa apparentemente azzardata affermazione, tanto azzardata da far dubitare della salute mentale di chi la pronunci, è che, in pratica, per ottenere π da un numero molto strettamente imparentato con i numeri interi, ci basta fare il prodotto fattoriale di -1/2. Un’operazione che, almeno nella modernità “computerizzata”, è alla portata di qualunque studente di scuola media, e di moltissimi studenti delle scuole elementari. Ci basta scrivere -0,5 e poi digitare il punto esclamativo “!” che sulla calcolatrice di Windows indicata il comando del prodotto fattoriale, per ottenere il seguente risultato
Il numero che vediamo qui sopra risulterà familiare a quasi tutti, dato che appare in un gran numero di formule molto importanti. Infatti, se la calcolatrice di Windows ci ha detto il vero, possiamo tradurre quell’equazione che vediamo lì sopra nel modo seguente
Così, facendo il quadrato del prodotto fattoriale di -1/2, con imprevedibile facilità arriviamo a π
-1/2!2 = 1,77245385090551602729816748334112 = 3,1415926535897932384626433832795 = π
Arriviamo a un risultato paragonabile facendo il prodotto fattoriale di 1/2, che vale √π/2
1/2! = 0,88622692545275801364908374167057 = √π/2
Questo significa, in poche parole, che dato un quadrato di perimetro pari a 2, facendo il prodotto fattoriale del lato pari a 1/2, moltiplicandolo per il perimetro pari a 2 ed elevando il risultato al quadrato, otteniamo il perimetro del cerchio di diametro pari a 1, che è appunto pari a π.
2. CORRELAZIONE PERFETTA FRA IL NUMERO D’ORO E PI GRECO
Questo fatto ha delle conseguenze anche riguardo al numero d’oro, quando ci ricordiamo che (ɸ + 1/ɸ)2 = 5. Infatti da ciò che abbiamo visto sopra ne segue che
Naturalmente, tutto questo ha delle ulteriori conseguenze riguardo alla trigonometria, dato che, come abbiamo visto un anno fa su The Snefru Code parte 9 e parte 12
Limx→0 360°/(x/sen x) = -1/2!2 ∙ 2 = 2π
Lim tg x→cos x = 1/√ɸ
L’angolo connesso a tg x = cos x è quello di 38°,17270762701224749346830133285 e il suo seno è ancora una volta una funzione di ɸ
sen 38°,17270762701224749346830133285 = 0,61803398874989484820458683436564 = 1/ɸ
Ciò significa che i parametri dell’angolo la cui tangente e il cui coseno coincidono, sono tutti delle funzioni perfette del numero d’oro, dato che
Se adesso facciamo la somma di tangente e coseno e sottraiamo il seno, e poi moltiplichiamo l’inverso del risultato per la costante che ci serve per ottenere la velocità della luce c = 2,99792458 otteniamo un’approssimazione di π che differisce dal valore esatto di poco meno di un milionesimo
[1/(2√ɸ – 1/ɸ)] ∙ c = 3,141593526280.. ≈ π = 3,141592653.. (+8,726.. ∙ 10-7
Un altro dato fisico molto interessante che possiamo ricavare dall’angolo i cui parametri sono tutti fissati da funzioni perfette di ɸ è il numero caratteristico della costante che descrive il raggio classico del protone rp = 1,535
3Ln 38°,172707627..! = 1,534828.. ≈ rp = 1,535
Quanto alla trigonometria, un’altra funzione molto interessante nella quale ci siamo imbattuti nel corso delle nostre ricerche è quella che vediamo qui sotto
Limn→∞ sen y = x/10n = tg y
In pratica questa formula significa che prendendo un seno di un valore qualsiasi e dividendolo per una potenza di 10 che tende a infinito, via via che la potenza del 10 cresce, via via il valore del seno e dell tangente tendono a diventare identici.
Tutto questo ci indica che il significato di quell’equazione che abbiamo visto sopra, in cui si passa da una funzione di ɸ al valore di π per mezzo del 10 deve avere per forza un significato trigonometrico, considerando anche che 1/2 e -1/2 corrispondono al coseno di due angoli fondamentali della trigonometria a base 360°, quali quello di 60° e di 120°.
3. IL NUMERO DI EULERO COME PONTE FRA LA TRIGONOMETRIA A BASE 360° E QUELLA IN CUI L’ANGOLO GIRO VIENE DIVISO IN RADIANTI
A questa stupenda armonia manca soltanto il numero di Eulero, di cui possiamo però trovare una connessione con π per mezzo della trigonometria in cui l’angolo giro viene corrisponde a due radianti, e cioè a 2π.
Come punto partenza della nostra dimostrazione l’angolo giro di 360° e dividendolo per il numero di Eulero al quadrato
360/e2 = 48°,720701965180569081839818190094
Questo angolo, apparentemente del tutto anonimo, corrisponde invece a un punto di unicità della trigonometria a base 360. Un punto di unicità costituito dal fatto noi possiamo passare dal valore di seno e coseno a quello della tangente e viceversa passando per una via completamente extratrigonometrica. Infatti, se prendiamo il valore del seno e del coseno di 48°,720701.. come due numeri puri, noi vediamo che sono proprio la x e la y in grado di soddisfare le equazioni che vediamo sotto
y = x/{1/√[√(1/x4) – 1]}
x = 4√1/{[1 + (1/(x/y)2]2}
x/y = x/{1/√[√(1/x4) – 1]}
L’ovvio significato di queste equazioni, è che noi possiamo vedere la relazione fra il seno, il coseno e la tangente di 48°,720701.. come un rapporto di proporzionalità puramente algebrica, in cui una terna di numeri può viene ricavata da funzioni di un solo numero (infatti, nelle equazioni che vediamo sopra, noi possiamo arrivare a y e poi a x/y per mezzo di una funzione di x: dunque, in un certo senso, quei tre numeri sono uno solo).
Poi, una volta risolta l’equazione, noi possiamo proiettare i suoi risultati sulla trigonometria e renderci conto che questi valori corrispondono al seno, al coseno e alla tangente di 360/48°,720701.. = e2. I parametri di quest’angolo sono rispettivamente
sen 48°,720701.. = 0,7515025545817689014135103509863
cos 48°,720701.. = 0,65973018004111002861791197209734
tg 48°,720701.. = 1,1391059213555157115712852727711
Ma, se lasciamo perdere per un attimo la trigonometria a base 360 e andiamo a vedere a quale angolo corrisponde 48°,720701.. nella trigonometria in cui l’angolo giro viene diviso in radianti, quelle che abbiamo visto fino ad ora parranno poco più che quisquilie. Infatti, noi scopriamo che esso corrisponde esattamente a 2π/e2, come ci dimostra in modo inequivocabile l’uguaglianza di seno, coseno e tangente
2π/e2 = 6,283185307.. : 2,718281828..2 = 6,283185307.. : 7,389056098.. = 0,850336663.. Rad.
sen 0,850336663.. Rad. = 0,751502554581.. = sen 48°,720701.. = 0,751502554581..
cos 0,850336663.. Rad. = 0,659730180041.. = cos 48°,720701.. = 0,659730180041..
tg 0,850336663.. Rad. = 1,139105921355.. = tg 48°,720701.. = 1,139105921355..
Se a questo punto facciamo il rapporto fra l’angolo espresso in gradi e quello espresso in radianti, scopriamo che il risultato altri non è, ovviamente, che 360/2π.
48°,720701.. : 0,850336663.. = 57°,295779.. = 360/2π
Ciò significa che
A questo punto, la commensurabilità fra π, ɸ, 10 e numero di Eulero appare perfetta, anche se deve passare per due sistemi trigonometrici comunicanti ma diversi.
Concludiamo segnalando che anche il prodotto fattoriale di -1/5 = -0,2 dà dei risultati interessanti. Infatti da esso possiamo ottenere, per mezzo dei logaritmi naturali un’ottima approssimazione di 1/π, mentre per mezzo di quelli in base 10 possiamo ottenerne una di -π2/10 (simbolizziamo il doppio logaritmo naturale con “2Ln”, e il doppio logaritmo in base 10 con “2log”)
-1/5! : 2Ln -1/5! = -0,61812620527294517642791575272.. ≈ 1/ɸ = 0,61803398874989484820458683436..
-1/5 : 2log -1/5! = -0,98646679766157833488323844.. ≈ -π2/10 = -9,8696044010893586188344909..
Gabriele Venturi