LA MORFOGENESI MATEMATICADELL’UNIVERSO
parte III
LA MATEMATICA ARMONICANELLA STRUTTURA DEL NUMERO PURO E NELL’UNIVERSO SENSIBILE IN QUANTO ENTITÀ NUMERABILE
Sezione prima :
LE DIFFICOLTA’ NEL GIUNGERE AL CUORE DELLA MATEMATICA CHE HA DATO
ORGINE AL PROGETTO DELLA GRANDE PIRAMIDE NEL CONTESTO DELLA
PROBLEMATICA GLOBALE DELLA MATEMATICA ARMONICA
À UNE RAISON
Un coup de ton doigt sur le tambour décharge tous les sons et commence la nouvelle harmonie.
Un pas de toi, c’est la levée des nouveaux hommes et leur en-marche.
Ta tête se détourne: le nouvel amour ! Ta tête se retourne: le nouvel amour !
« Change nos lots, crible les fléaux, à commencer par le temps », te chantent ces enfants.
« Élève n’importe où la substance de nos fortunes et de nos voeux », on t’en prie.
Arrivée de toujours, tu t’en iras partout.
A. Rimbaud
2018, DÉCEMBRE
À perte de rue je m’abandonne
la nuit venue quand tous les autres dorment
cent pas sans but quand minuit sonne
je ne suis plus personne
I. Geffroy
QUESTION
Ces nuits
abrouties par les souvenirs
fauchées par l’absence
desséchées par l’angoisse.Ce désert irrémédiable
ce vide irrespirable
ce désir vandale et fou
de pas vouloir voir
de pas vouloir savoir.Donc
ces nuits en vain
dans lesquelles s’assoupir
signifie espérer pour une image
qu’après le rêve
me refuse.Mais alors pourquoi
quand je me lève et je m’habille
le lit que j’abandonne
me semble si beau
qu’un amour perdu
et la lumière du matin un corbeau
qu’en croassant et en grésillant me répète
que la mort ne sera consolation suffisante
pour avoir sans toi vécu?
CONSTATATION
La jeunesse..
Ma jeunesse
je l’ai perdue
comme on perd un de ces rêves
que l’on sait d’avoir rêvé
mais qui néanmoins
pour une raison quelconque
on ne parvient pas
à se souvenir.On voudrait mourir.
En fait
on ne peut faire rien d’autre
que vieillir.
A. F.
Capitolo Primo:
I “numeri” della scienza empirica nella matematica armonica e i problemi teorici connessi con il loro trattamento puramente matematico
1.
Come si comprende già dal titolo, uno degli scopi di questo primo capitolo del nostro lavoro è quello di cercare di dare un abbozzo di risposta a degli aspetti di questa indagine che appaiono a noi per primi molto problematici, e che sembrano mettere in crisi quelli che invece appaiono positivi e promettenti. In sintesi, un aspetto che ci pare positivo e promettente della nostra ricerca è che per mezzo di quel complesso di tecniche e metodi matematici inconsueti a cui abbiamo dato il nome di matematica armonica ci siamo scoperti in grado di ricostruire alcune formule fondamentali delle correnti teorie fisiche in modo tale da farle apparire come casi particolari di un sistema di relazioni molto più generale (in passato abbiamo visto, per esempio, come si possa trasformare la formula per calcolare l’attrazione elettromagnetica fra elettrone e protone in una funzione del raggio classico dell’elettrone, in questo articolo vedremo un altro caso molto interessante, e cioè come la classica formula einsteniana per calcolare l’energia a della massa a riposo del protone, E mp = m p ∙ c² possa venir trasformata in una forma che, almeno in un certo senso, può essere considerata quella di un frattale, dato che la velocità della luce viene moltiplicata per una massa del
protone che in realtà risulta essere m p = f (c) , e dunque anche l’energia che esso contiene non è a sua volta altro che funzione di c).
Questo tipo di ricostruzione – al di là del suo interesse puramente matematico, o, se si vuole, di mera curiosità – sembra lasciar intravedere il modo di superare alcune difficoltà che le correnti teorie fisiche lasciano aperte, non ultimo il paradossale problema della costante di struttura fine che, come è noto, è l’unica costante fisica espressa da un numero puro. Un fatto del genere sembra davvero molto, molto strano dato che, in teoria, la fisica dovrebbe essere costituita, da un lato, da un insieme di strumenti matematici totalmente astratti (come per esempio la geometria Riemann, adattata alla relatività generale) dall’altro dei dati empirici che, pur espressi per mezzo di numeri, sono però associati a delle estensioni di qualche genere (spazio, tempo, massa, carica elettrica, etc.). Dunque, da un lato avremmo l’astrazione più pura, dall’altro la pura concretezza, che l’ingegno umano trova il modo di far in qualche modo incontrare sfruttando il fatto che qualsiasi genere di entità estesa è una totalità che può essere suddivisa per una sua parte scelta in modo più o meno arbitrario (lo spazio può essere suddiviso in metri, in passi, in pollici, in miglia o in qualsiasi altra misura che si possa considerare convenente: ma l’essenza della procedura è quella di stabilire arbitariamente che una certa porzione del tutto diventa la pietra di paragone per misurare – ovvero per trasformare in numeri – quella totalità che, prima di questa operazione, appare come un’unità indistinta).
In un contesto di questo genere non ci dovrebbero essere altro che costanti fisiche – a cui corrispondono estensioni – e costanti matematiche – quali pi greco, il numero d’oro e il numero di Eulero – che sono invece entità astratte.
Dunque, cosa ci fa lì in mezzo quello strana entità né carne né pesce, misurata per adesso solo fino alla nona cifra decimale (il dato più recente che abbiamo trovato è il CODATA 2018 che dà α = 137,035999084: dopo naturalmente si suppone che vi siano altre cifre, che però vengono considerate incerte), che una costante matematica non lo è di certo, ma che d’altra parte si fa fatica a considerarla una costante propriamente fisica – e dunque legata all’empiria – dato che non corrisponde a nessuna estensione?
Se non abbiamo capito male, la speranza dei fisici teorici era e resta quella di risolvere questo strano problema epistemologico trovando il modo di associare α a un’estensione di qualche genere. Il nostro lavoro invece ci ha suggerito un’altra strada. Siccome abbiamo scoperto che tutte le costanti della fisica possono essere derivate da costanti matematiche quali pi greco, il numero d’oro e il numero di Eulero, il problema della costante di struttura fine non si dovrebbe risolvere trovandogli un’estensione, ma invece inserendola in un contesto in cui tutte le costanti della fisica sono numeri puri. Tale contesto sarebbe quello della matematica armonica che, lavorando su una geometria senza linee, potrebbe diventare un metodo per creare una perfetta corrispondenza tra empirico (e dunque incerto e inesatto) e ideale (certo e prevedibile a priori, perché astratto). Un esempio banale. Se l’orbita di un certo pianeta è “quasi perfettamente circolare” questo significa che questo pianeta traccia intorno al Sole una traiettoria che solo
per poco non corrisponde al rapporto fra diametro e circonferenza di un cerchio ideale, che è pari a pi greco.
Ragionando in questo modo, ci viene in mente l’idea dell’incommensurabilità fra un mondo empirico – dove tutto è accidentale e approssimato – e un mondo ideale, trascendente ed esatto. Ma se per mezzo della matematica armonica riuscissimo a dimostrare che esistono un numero infinito di approssimazioni di pi greco, e che tali approssimazioni formano un sistema, ecco che entro questo sistema – del tutto astratto e dunque anche trascendente ed esatto – si troverebbe – fra le infinite altre – anche quella particolare approssimazione di π che descrive l’orbita “quasi perfettamente circolare” di quel pianeta che sembrava avvicinarsi all’ideale senza poterlo conseguire.
Con la matematica armonica dunque, ammesso che un giorno si arrivi a dimostrare che le sue ipotesi sono plausibili, è perfettamente possibile fare a meno della distinzione fra ideale e reale, fra trascendente ed empirico, fra esatto ed inesatto perché, una volta stabilito che si possono costruire per mezzo di un metodo dato interamente a priori un numero infinito di approssimazioni di π e una volta stabilita la validità generale a almeno la non artificiosità del metodo, anche i cerchi quasi-perfetti, siccome corrispondono a un modello astratto, risultano da questo punto di vista assolutamente perfetti, proprio come quello in cui il rapporto fra diametro e circonferenza è pari a π. In questo senso, la matematica armonica non sarebbe altro che una traduzione moderna dell’antichissima tradizione ermetica che sostiene l’identità di trascendente e immanente che, in un pensiero come quello di Spinoza, si traduce nell’affermazione dell’identità fra Dio e Natura.
2.
A differenza di Spinoza però, la matematica armonica ha la speranza – non sappiamo ancora se e quanto fondata – di poter arrivare a dimostrare le sue ipotesi per mezzo di strumenti puramente matematici, e assegna perciò al pensiero concettuale espresso nel linguaggio comune un ruolo secondario, simile a quello della guida che accompagna un viaggiatore in una terra straniera di cui non comprende gli usi e la lingua (con la prospettiva dunque di un giorno farne a meno). Se seguiamo i suggerimenti che essa sembra averci fino ad ora offerto, le costanti delle fisica sarebbero da considerarsi sostanzialmente o come limiti e dunque come parti – di equazioni armoniche, o come funzioni di costanti matematiche. Però, siccome tali costanti matematiche risultano a loro volta funzioni di numeri interi, possiamo dire che le costanti della fisica, nel contesto della nostra analisi, o sono il risultato di equazioni armoniche o di funzioni di numeri interi – per lo più numeri interi fondamentali quali il 2, il 3, il 5, il 7, etc.
Questo sarebbe dunque anche il caso della costante di struttura fine che, come possiamo vedere qui di seguito, segue da una funzione del 2 – (diciamo del 2 e non di π perché è come funzione del 2 che nell’ambito della matematica armonica si concepisce π) – ma può anche venir fuori come risultato di una o più equazioni armoniche (avvertiamo il lettore alla sua esperienza con il nostro lavoro, che quello che utilizziamo è un simbolismo un po’ particolare, che può causare inizialmente qualche difficoltà, che però può essere facilmente superata andare a vedere in nota di che cosa si tratta 1 ). Si noti che il valore di α che otteniamo – che nei primi due casi ricopia fedelmente le cifre del valore Codata
1
Il simbolismo che adottiamo per le operazioni della matematica armonica è in realtà molto vicino a quello ordinario, dato che le variazioni che gli abbiamo portato sono pochissime e tutte riferite a operazioni consuete, che però nell’ambito del nostro lavoro compaiono molto spesso in sequenza. In questo senso, un simbolo come “₅!” può sembrare sul momento un po’ enigmatico, ma il suo significato è molto semplice, dato che rappresenta l’applicazione per 5 volte consecutive del prodotto fattoriale alla cifra che lo precede. In generale, d’ora innanzi incontreremo molte volte operazioni eseguite in sequenza, soprattutto logaritmi, come anche di inversi di logaritmi, sia in base 10 sia naturali (simbolo del logaritmo in base 10 sarà “log” e di quello naturale “Ln”; quello dell’inverso del logaritmo naturale sarà dunque “inv. Ln” e di quello in base 10 “inv. log”), oltre che di prodotti fattoriali. Perciò il lettore dovrà tenere a mente che, ogni volta che vede un numero in basso a sinistra di simboli come “!”, “log”, “Ln”, o “inv. log” o “inv. Ln” – e quindi, per esempio, “₅!”, “₅log”, “₅Ln”, o “₅inv. log” o “₅inv. Ln” – esso si riferisce al numero di volte consecutive che
va ripetuta l’operazione simbolizzata sul numero che sta a destra del simbolo. Lo stesso accadrà per l’applicazione sequenziale della funzione seno e coseno, e della funzione tangente, e del loro inverso e dunque con simboli che appariranno come “₅sen”, “₅inv. sen”, oppure “₅cos”, “₅inv. cos”, oppure “₅tg”, “₅inv. tg”, oppure ancora, riferite alle funzioni iperboliche, come “₅sinh”, “₅inv. sinh”, “₅cosh”, “₅inv. cosh”, “₅tanh”, “₅inv. tanh”.
Oltre a ciò, conviene soffermarci brevemente è l’impiego che in questo lavoro faremo di approssimazioni di numeri naturali e costanti matematiche, e del simbolismo connesso a tali approssimazioni. Come prima cosa, è bene chiarire che l’origine di tali approssimazioni potrà essere molto diversa.
A volte esse verranno ricavate da funzioni di altre costanti matematiche, altre volte potranno derivare dall’analisi di dati fisici o parametri astronomici del Sistema Solare, altre volte dall’analisi di costanti fisiche. Il modo in cui le simbolizzeremo è piuttosto semplice. Quando avremo a che fare, per esempio, con una cifra prossima a π, ma che però non coincide con il suo valore esatto, la segnaleremo con il simbolo “π A “, che vuol dire semplicemente “pi greco approssimato”. Quando avremo a che fare con una cifra prossima a ɸ, ma che non coincide con il suo valore esatto, simbolizzeremo tale cifra con “ɸ A “. Lo stesso accadrà per quanto riguarda il numero di Eulero, le cui approssimazioni in questa ricerca vengono utilizzate con una frequenza minore ma che comunque sia vengono utilizzate, e che verranno simbolizzate con “Eul. A “. Per quanto riguarda le approssimazioni di ɸ e di π che risultano dalle proporzioni della Grande Piramide, che nel primo capitolo di questo lavoro verranno analizzate in modo piuttosto approfondito, abbiamo utilizzato in passato e continueremo a utilizzare anche in queste pagine i simboli “π Cheope ” e “ɸ Cheope “, mentre le loro approssimazioni saranno segnalate, come nel caso di π e ɸ, per mezzo di una A sulla destra del simbolo, e dunque con “π CheopeA ” e “ɸ CheopeA ” (questo genere di simbolismo però lo utilizzeremo con molta minore frequenza).
A parte il caso delle costanti matematiche, troveremo molto spesso anche delle approssimazioni dei numeri interi a cui tali costanti sono connesse, che sono sostanzialmente il 2, il 3 e il 5 e che perciò, in continuità con quanto abbiamo fatto con π, ɸ e il numero di Eulero, simbolizzeremo con 2 A , 3 A e 5 A . Quanto al rapporto fra il 5 e il numero d’oro, è universalmente nota la formula ɸ = (√5 + 1) : 2 con cui si può derivare nel modo più semplice.
Quanto a π, il suo legame con il 2 deriva dal fatto che lo possiamo ricavare con le formule π = (-1/2)!² oppure con π = *(1/2)! ∙ 2+².
Capiterà inoltre che nel medesimo paragrafo, o in paragrafi contigui, le approssimazioni di una costante matematica o di un numero intero fondamentale siano più di una, o che risulti a vari livelli significativa la loro differenza reciproca oppure quella con il valore esatto. In questi casi, per distinguerle le une dalle altre, esse saranno numerate successivamente come “2 A1 “, “2 A2 “, oppure come “π A1 “, “π A2 “, etc. 2018 – viene ottenuto passando per un valore della massa del protone prossimo a quello standard. Vi è poi un terzo caso in cui – di nuovo per mezzo di un’equazione armonica – otteniamo un valore di α che differisce da quello Codata di circa 36 miliardesimi. Però, siccome la funzione sembra profondamente affine a quelle precedenti, pur presentando un grado molto più elevato di semplicità, abbiamo creduto fosse bene di presentarla ugualmente, anche perché a quanto sembra è entrato in circolazione un altro dato, differente da Codata 2018 – che da la costante di struttura fine pari α = 137,035999084 – che, stabilito con un metodo differente, da un risultato un po’ maggiore – α = 137,035999174 – a cui la seconda equazione armonica si avvicina in modo piuttosto soddisfacente (in realtà, di equazioni armoniche che includono valori di α che coincidono o sfiorano quello di Codata 2018 ne abbiamo accumulate già molte ma, per non confonderci le idee, possiamo cominciare con questi due esempi). Sembra significativo che un valore di α prossimo a questo possa essere ricavato dal quinto zero non banale
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